31В. а) Решите уравнение \({\sin ^2}x + 2\sin x\;\cos x — 3{\cos ^2}x = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 3\pi ; — 2\pi } \right].\)
а) \({\sin ^2}x + 2\sin x\cos x — 3{\cos ^2}x = 0.\) Однородное тригонометрическое уравнение второй степени. \({\sin ^2}x + 2\sin x\cos x — 3{\cos ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\,x + 2{\rm{tg}}\,x — 3 = 0.\) Пусть \({\rm{tg}}\,x = t,\,\,\,\,\,t\, \in R.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2} + 2t — 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;\;\;}\\{{t} = — 3.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x = 1,\,\;}\\{{\rm{tg}}\,x = — 3}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = — {\rm{arctg}}\,3 + \pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{4} — 3\pi = — \frac{{11\pi }}{4};\,\,\;\;x = — {\rm{arctg}}\,3 — 2\pi .\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\; — {\rm{arctg}}\,3 + \pi k,\;\;\;k \in Z;\) б) \( — \frac{{11\pi }}{4};\,\,\;\; — {\rm{arctg}}\,3 — 2\pi .\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 3\pi ; — 2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: