32В. а) Решите уравнение \({\sin ^2}x — 4\sin x\;\cos x + 3{\cos ^2}x = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {3\pi ;4\pi } \right].\)
а) \({\sin ^2}x — 4\sin x\cos x + 3{\cos ^2}x = 0.\) Однородное тригонометрическое уравнение второй степени. \({\sin ^2}x — 4\sin x\cos x + 3{\cos ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\,x — 4{\rm{tg}}\,x + 3 = 0.\) Пусть \({\rm{tg}}\,x = t,\,\,\,\,\,t\, \in R.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2} — 4t + 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;}\\{{t} = 3.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x = 1,}\\{{\rm{tg}}\,x = 3}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = {\rm{arctg}}\,3 + \pi k,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{4} + 3\pi = \frac{{13\pi }}{4};\,\,\;\;x = {\rm{arctg}}\,3 + 3\pi .\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;{\rm{arctg}}\,3 + \pi k,\;\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{{13\pi }}{4};\,\,\;\;{\rm{arctg}}\,3 + 3\pi .\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {3\pi ;4\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: