33В. а) Решите уравнение \(\sin x\;\cos x — 2{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}x = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {5\pi ;6\pi } \right].\)
а) \(\sin x\cos x — 2{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}x = 0.\) Однородное тригонометрическое уравнение второй степени. \(\sin x\cos x — 2{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{tg}}\,x — 2 + 3{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\,x = 0.\) Пусть \({\rm{tg}}\,x = t,\,\,\,\,\,t\, \in R.\) Тогда уравнение примет вид: \(3{t^2} + t — 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = — 1,\;}\\{{t} = \frac{2}{3}.\;\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x = — 1,}\\{{\rm{tg}}\,x = \frac{2}{3}\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = — \frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = {\rm{arctg}}\,\frac{2}{3} + \pi k,\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = {\rm{arctg}}\,\frac{2}{3} + 5\pi ;\;\;\;\;x = — \frac{\pi }{4} + 6\pi = \frac{{23\pi }}{4}.\) Ответ: а) \( — \frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;{\rm{arctg}}\,\frac{2}{3} + \pi k,\;\;\;k \in Z;\) б) \({\rm{arctg}}\,\frac{2}{3} + 5\pi ;\;\;\;\;\frac{{23\pi }}{4}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {5\pi ;6\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: