34В. а) Решите уравнение \(2{\sin ^2}2x — 5\sin 2x\;\cos 2x + 2{\cos ^2}2x = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right].\)
а) \(2{\sin ^2}2x — 5\sin 2x\cos 2x + 2{\cos ^2}2x = 0.\) Однородное тригонометрическое уравнение второй степени. \(2{\sin ^2}2x — 5\sin 2x\cos 2x + 2{\cos ^2}2x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\,2x — 5{\rm{tg}}\,2x + 2 = 0.\) Пусть \({\rm{tg}}\,2x = t,\,\,\,\,\,t\, \in R.\) Тогда уравнение примет вид: \(2{t^2} — 5t + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 2,\;}\\{{t} = \frac{1}{2}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,2x = 2,}\\{{\rm{tg}}\,2x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = {\rm{arctg}}\,2 + \pi k,\;\;\,}\\{2x = {\rm{arctg}}\,\frac{1}{2} + \pi k\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2}{\rm{arctg}}\,2 + \frac{{\pi k}}{2},\;\;\,}\\{x = \frac{1}{2}{\rm{arctg}}\,\frac{1}{2} + \frac{{\pi k}}{2},\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{1}{2}{\rm{arctg}}\,2 + \frac{{3\pi }}{2};\) \(x = \frac{1}{2}{\rm{arctg}}\,\frac{1}{2} + \frac{{3\pi }}{2}.\) Ответ: а) \(\frac{1}{2}{\rm{arctg}}\,2 + \frac{{\pi k}}{2},\;\;\;\frac{1}{2}{\rm{arctg}}\,\frac{1}{2} + \frac{{\pi k}}{2},\;\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{1}{2}{\rm{arctg}}\,2 + \frac{{3\pi }}{2};\,\,\;\;\frac{1}{2}{\rm{arctg}}\,\frac{1}{2} + \frac{{3\pi }}{2}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: