35В. а) Решите уравнение  \(3{\sin ^2}3x + 10\sin 3x\;\cos 3x + 3{\cos ^2}3x = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ { — \frac{{3\pi }}{2}; — \pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( — \frac{1}{3}{\rm{arctg3 + }}\frac{{\pi k}}{3};\quad  — \frac{1}{3}{\rm{arctg}}\frac{1}{3} + \frac{{\pi k}}{3};\quad k \in Z;\)

б) \( — \frac{1}{3}{\rm{arctg}}3 — \pi ;\,\;\;\; — \frac{1}{3}{\rm{arctg}}3 — \frac{{4\pi }}{3};\,\;\;\; — \frac{1}{3}{\rm{arctg}}\frac{1}{3} — \pi ;\,\;\;\; — \frac{1}{3}{\rm{arctg}}\frac{1}{3} — \frac{{4\pi }}{3}.\)

Решение

а) \(3{\sin ^2}3x + 10\sin 3x\cos 3x + 3{\cos ^2}3x = 0.\)

Однородное тригонометрическое уравнение второй степени.

\(3{\sin ^2}3x + 10\sin 3x\cos 3x + 3{\cos ^2}3x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\,3x + 10{\rm{tg}}\,3x + 3 = 0.\)

Пусть \({\rm{tg}}\,3x = t,\,\,\,\,\,t\, \in R.\) Тогда уравнение примет вид:

\(3{t^2} + 10t + 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} =  — 3,\;}\\{{t} =  — \frac{1}{3}.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,3x =  — 3,}\\{{\rm{tg}}\,3x =  — \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x =  — {\rm{arctg}}\,3 + \pi k,\;\;\,}\\{3x =  — {\rm{arctg}}\,\frac{1}{3} + \pi k\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  — \frac{1}{3}{\rm{arctg}}\,3 + \frac{{\pi k}}{3},\;\;\,}\\{x =  — \frac{1}{3}{\rm{arctg}}\,\frac{1}{3} + \frac{{\pi k}}{3},\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Рассмотрим решения:  \(x =  — \frac{1}{3}{\rm{arctg}}\,3 + \frac{{\pi k}}{3},\;\;\;k \in Z.\)

Если \(k \le  — 5,\) то \(x \le  — \frac{1}{3}{\rm{arctg}}\,3 — \frac{{5\pi }}{3} <  — \frac{{3\pi }}{2},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ { — \frac{{3\pi }}{2}; — \pi } \right]\) нет.

Если \(k =  — 4,\) то \(x =  — \frac{1}{3}{\rm{arctg}}\,3 — \frac{{4\pi }}{3} \in \left[ { — \frac{{3\pi }}{2}; — \pi } \right].\)

Если \(k =  — 3,\) то \(x =  — \frac{1}{3}{\rm{arctg}}\,3 — \pi  \in \left[ { — \frac{{3\pi }}{2}; — \pi } \right].\)

Если \(k \ge  — 2,\) то \(x \ge  — \frac{1}{3}{\rm{arctg}}\,3 — \frac{{2\pi }}{3} >  — \pi ,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ { — \frac{{3\pi }}{2}; — \pi } \right]\) нет.

Рассмотрим решения:  \(x =  — \frac{1}{3}{\rm{arctg}}\,\frac{1}{3} + \frac{{\pi k}}{3},\;\;\;k \in Z.\)

Если \(k \le  — 5,\) то \(x \le  — \frac{1}{3}{\rm{arctg}}\,\frac{1}{3} — \frac{{5\pi }}{3} <  — \frac{{3\pi }}{2},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ { — \frac{{3\pi }}{2}; — \pi } \right]\) нет.

Если \(k =  — 4,\) то \(x =  — \frac{1}{3}{\rm{arctg}}\,\frac{1}{3} — \frac{{4\pi }}{3} \in \left[ { — \frac{{3\pi }}{2}; — \pi } \right].\)

Если \(k =  — 3,\) то \(x =  — \frac{1}{3}{\rm{arctg}}\,\frac{1}{3} — \pi  \in \left[ { — \frac{{3\pi }}{2}; — \pi } \right].\)

Если \(k \ge  — 2,\) то \(x \ge  — \frac{1}{3}{\rm{arctg}}\,\frac{1}{3} — \frac{{2\pi }}{3} >  — \pi ,\) поэтому при таких \(k\)  решений на отрезке \(\left[ { — \frac{{3\pi }}{2}; — \pi } \right]\) нет.

Ответ:  а) \( — \frac{1}{3}{\rm{arctg}}\,3 + \frac{{\pi k}}{3},\;\;\; — \frac{1}{3}{\rm{arctg}}\,\frac{1}{3} + \frac{{\pi k}}{3},\;\;\;k \in Z;\)

             б) \( — \frac{1}{3}{\rm{arctg}}\,3 — \pi ;\;\;\;\; — \frac{1}{3}{\rm{arctg}}\,3 — \frac{{4\pi }}{3};\;\;\;\; — \frac{1}{3}{\rm{arctg}}\,\frac{1}{3} — \pi ;\;\;\;\; — \frac{1}{3}{\rm{arctg}}\,\frac{1}{3} — \frac{{4\pi }}{3}.\)