35В. а) Решите уравнение \(3{\sin ^2}3x + 10\sin 3x\;\cos 3x + 3{\cos ^2}3x = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \dfrac{{3\pi }}{2}; — \pi } \right].\)
ОТВЕТ: а) \( — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg3 + }}\dfrac{{\pi k}}{3};\quad — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg}}\dfrac{1}{3} + \dfrac{{\pi k}}{3};\quad k \in Z;\) б) \( — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg}}3 — \pi ;\,\;\;\; — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg}}3 — \dfrac{{4\pi }}{3};\,\;\;\; — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg}}\frac{1}{3} — \pi ;\,\;\;\; — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg}}\dfrac{1}{3} — \dfrac{{4\pi }}{3}.\)
а) \(3{\sin ^2}3x + 10\sin 3x\cos 3x + 3{\cos ^2}3x = 0.\) Однородное тригонометрическое уравнение второй степени. \(3{\sin ^2}3x + 10\sin 3x\cos 3x + 3{\cos ^2}3x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\,3x + 10{\rm{tg}}\,3x + 3 = 0.\) Пусть \({\rm{tg}}\,3x = t,\,\,\,\,\,t\, \in R.\) Тогда уравнение примет вид: \(3{t^2} + 10t + 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = — 3,\;}\\{{t} = — \dfrac{1}{3}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,3x = — 3,}\\{{\rm{tg}}\,3x = — \dfrac{1}{3}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = — {\rm{arctg}}\,3 + \pi k,\;\;\,}\\{3x = — {\rm{arctg}}\,\dfrac{1}{3} + \pi k\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg}}\,3 + \dfrac{{\pi k}}{3},\;\;\,}\\{x = — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg}}\,\dfrac{1}{3} + \dfrac{{\pi k}}{3},\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;k \in Z.\) б) Рассмотрим решения: \(x = — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg}}\,3 + \dfrac{{\pi k}}{3},\;\;\;k \in Z.\) Если \(k \le — 5,\) то \(x \le — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg}}\,3 — \dfrac{{5\pi }}{3} < — \dfrac{{3\pi }}{2},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ { — \dfrac{{3\pi }}{2}; — \pi } \right]\) нет. Если \(k = — 4,\) то \(x = — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg}}\,3 — \dfrac{{4\pi }}{3} \in \left[ { — \dfrac{{3\pi }}{2}; — \pi } \right].\) Если \(k = — 3,\) то \(x = — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg}}\,3 — \pi \in \left[ { — \dfrac{{3\pi }}{2}; — \pi } \right].\) Если \(k \ge — 2,\) то \(x \ge — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg}}\,3 — \dfrac{{2\pi }}{3} > — \pi ,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ { — \dfrac{{3\pi }}{2}; — \pi } \right]\) нет. Рассмотрим решения: \(x = — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg}}\,\dfrac{1}{3} + \dfrac{{\pi k}}{3},\;\;\;k \in Z.\) Если \(k \le — 5,\) то \(x \le — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg}}\,\dfrac{1}{3} — \dfrac{{5\pi }}{3} < — \dfrac{{3\pi }}{2},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ { — \dfrac{{3\pi }}{2}; — \pi } \right]\) нет. Если \(k = — 4,\) то \(x = — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg}}\,\dfrac{1}{3} — \dfrac{{4\pi }}{3} \in \left[ { — \dfrac{{3\pi }}{2}; — \pi } \right].\) Если \(k = — 3,\) то \(x = — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg}}\,\dfrac{1}{3} — \pi \in \left[ { — \dfrac{{3\pi }}{2}; — \pi } \right].\) Если \(k \ge — 2,\) то \(x \ge — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg}}\,\dfrac{1}{3} — \dfrac{{2\pi }}{3} > — \pi ,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ { — \dfrac{{3\pi }}{2}; — \pi } \right]\) нет. Ответ: а) \( — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg}}\,3 + \dfrac{{\pi k}}{3},\;\;\; — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg}}\,\dfrac{1}{3} + \dfrac{{\pi k}}{3},\;\;\;k \in Z;\) б) \( — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg}}\,3 — \pi ;\;\;\;\; — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg}}\,3 — \dfrac{{4\pi }}{3};\;\;\;\; — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg}}\,\dfrac{1}{3} — \pi ;\;\;\;\; — \dfrac{1}{3}{\rm{arctg}}\,\dfrac{1}{3} — \dfrac{{4\pi }}{3}.\)