36В. а) Решите уравнение \({\sin ^2}x = 3{\cos ^2}x\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\pi } \right].\)
а) \({\sin ^2}x = 3{\cos ^2}x.\) Однородное тригонометрическое уравнение второй степени. \({\sin ^2}x = 3{\cos ^2}x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x = \sqrt 3 ,\,\,\,}\\{{\rm{tg}}\,x = — \sqrt 3 }\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + \pi k,}\\{x = — \frac{\pi }{3} + \pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,k \in Z\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm \frac{\pi }{3} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{3};\;\,\;\,x = — \frac{\pi }{3} + \pi = \frac{{2\pi }}{3}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{\pi }{3} + \pi k,\;\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{\pi }{3};\;\;\frac{{2\pi }}{3}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: