а) \({\sin ^2}\dfrac{x}{3} = {\cos ^2}\dfrac{x}{3}.\)
Однородное тригонометрическое уравнение второй степени.
\({\sin ^2}\dfrac{x}{3} = {\cos ^2}\dfrac{x}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\dfrac{x}{3} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,\dfrac{x}{3} = 1,\,\,\,}\\{{\rm{tg}}\,\dfrac{x}{3} = — 1}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{x}{3} = \dfrac{\pi }{4} + \pi k,\,\,\,}\\{\dfrac{x}{3} = — \dfrac{\pi }{4} + \pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,k \in Z\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{3\pi }}{4} + 3\pi k,\,\,\,\,}\\{x = — \dfrac{{3\pi }}{4} + 3\pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 2\pi ;2\pi } \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z:\)
|
\( — 2\pi \le — \dfrac{{3\pi }}{4} + 3\pi k \le 2\pi ,\)
\( — \dfrac{{5\pi }}{4} \le 3\pi k \le \dfrac{{11\pi }}{4},\)
\( — \dfrac{5}{{12}} \le k \le \dfrac{{11}}{{12}},\)
\(k = 0.\)
Значит, \(x = — \dfrac{{3\pi }}{4}.\)
|
\( — 2\pi \le \dfrac{{3\pi }}{4} + 3\pi k \le 2\pi ,\)
\( — \dfrac{{11\pi }}{4} \le 3\pi k \le \dfrac{{5\pi }}{4},\)
\( — \dfrac{{11}}{{12}} \le k \le \dfrac{5}{{12}},\)
\(k = 0.\)
Значит, \(x = \dfrac{{3\pi }}{4}.\)
|
Следовательно, заданному промежутку принадлежат корни \( — \dfrac{{3\pi }}{4};\;\;\;\dfrac{{3\pi }}{4}.\)
Ответ: а) \( \pm \dfrac{{3\pi }}{4} + 3\pi k,\;\;\;k \in Z;\)
б) \( — \dfrac{{3\pi }}{4};\;\;\dfrac{{3\pi }}{4}.\)