37В. а) Решите уравнение \({\sin ^2}\frac{x}{3} = {\cos ^2}\frac{x}{3}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 2\pi ;2\pi } \right].\)
ОТВЕТ: а) \( \pm \frac{{3\pi }}{4} + 3\pi k;\quad k \in Z;\) б) \( — \frac{{3\pi }}{4};\;\;\frac{{3\pi }}{4}.\)
а) \({\sin ^2}\frac{x}{3} = {\cos ^2}\frac{x}{3}.\) Однородное тригонометрическое уравнение второй степени. \({\sin ^2}\frac{x}{3} = {\cos ^2}\frac{x}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\frac{x}{3} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,\frac{x}{3} = 1,\,\,\,}\\{{\rm{tg}}\,\frac{x}{3} = — 1}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{3} = \frac{\pi }{4} + \pi k,\,\,\,}\\{\frac{x}{3} = — \frac{\pi }{4} + \pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,k \in Z\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{3\pi }}{4} + 3\pi k,\,\,\,\,}\\{x = — \frac{{3\pi }}{4} + 3\pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 2\pi ;2\pi } \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z:\) \( — 2\pi \le — \frac{{3\pi }}{4} + 3\pi k \le 2\pi ,\) \( — \frac{{5\pi }}{4} \le 3\pi k \le \frac{{11\pi }}{4},\) \( — \frac{5}{{12}} \le k \le \frac{{11}}{{12}},\) \(k = 0.\) Значит, \(x = — \frac{{3\pi }}{4}.\) \( — 2\pi \le \frac{{3\pi }}{4} + 3\pi k \le 2\pi ,\) \( — \frac{{11\pi }}{4} \le 3\pi k \le \frac{{5\pi }}{4},\) \( — \frac{{11}}{{12}} \le k \le \frac{5}{{12}},\) \(k = 0.\) Значит, \(x = \frac{{3\pi }}{4}.\) Следовательно, заданному промежутку принадлежат корни \( — \frac{{3\pi }}{4};\;\;\;\frac{{3\pi }}{4}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{{3\pi }}{4} + 3\pi k,\;\;\;k \in Z;\) б) \( — \frac{{3\pi }}{4};\;\;\frac{{3\pi }}{4}.\)