38В. а) Решите уравнение \(5{\sin ^2}x — 14\sin x\;\cos x — 3{\cos ^2}x = 2\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 3\pi ; — 2\pi } \right].\)
а) \(5{\sin ^2}x — 14\sin x\cos x — 3{\cos ^2}x = 2.\) Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \(2 = 2 \cdot 1 = 2\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right).\) Тогда уравнение примет вид: \(5{\sin ^2}x — 14\sin x\cos x — 3{\cos ^2}x = 2\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,3{\sin ^2}x — 14\sin x\cos x — 5{\cos ^2}x = 0\;.\) Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. \(3{\sin ^2}x — 14\sin x\cos x — 5{\cos ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3{\rm{tg}}{\,^2}x — 14{\rm{tg}}\,x — 5 = 0.\) Пусть \({\rm{tg}}\,x = t,\,\,\,\,\,t\, \in R.\) Тогда уравнение примет вид: \(3{t^2} — 14t — 5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 5,\;}\\{{t} = — \frac{1}{3}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x = 5\,,\;\,}\\{{\rm{tg}}\,x = — \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {\rm{arctg}}\,5 + \pi k,\;\;\;\,\;\;}\\{x = — {\rm{arctg}}\,\frac{1}{3} + \pi k,\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\; k \in Z.\) \(x = — {\rm{arctg}}\,\frac{1}{3} — 2\pi ;\) \(x = {\rm{arctg}}\,5 — 3\pi .\) Ответ: а) \( — {\rm{arctg}}\,\frac{1}{3} + \pi k,\;\;\;{\rm{arctg}}\,5 + \pi k,\;\;\;k \in Z;\) б) \( — {\rm{arctg}}\,\frac{1}{3} — 2\pi ,\;\;\;{\rm{arctg}}\,5 — 3\pi .\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 3\pi ; — 2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: