39В. а) Решите уравнение \(4{\sin ^2}x — 2\sin x\;\cos x = 3\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {2\pi ;3\pi } \right].\)
а) \(4{\sin ^2}x — 2\sin x\cos x = 3.\) Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \(3 = 3 \cdot 1 = 3\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right).\) Тогда уравнение примет вид: \(4{\sin ^2}x — 2\sin x\cos x = 3\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\sin ^2}x — 2\sin x\cos x — 3{\cos ^2}x = 0.\) Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. \({\sin ^2}x — 2\sin x\cos x — 3{\cos ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{tg}}{\,^2}x — 2{\rm{tg}}\,x — 3 = 0.\) Пусть \({\rm{tg}}\,x = t,\,\,\,\,\,t\, \in R.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2} — 2t — 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 3,\,\,\;}\\{{t} = — 1.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x = 3\,,\;\,}\\{{\rm{tg}}\,x = — 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {\rm{arctg}}\,3 + \pi k,}\\{x = — \frac{\pi }{4} + \pi k,\,\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; k \in Z.\) \(x = — \frac{\pi }{4} + 3\pi = \frac{{11\pi }}{4}{\rm{;}}\;\;\;x = {\rm{arctg}}\,3 + 2\pi .\) Ответ: а) \({\rm{arctg}}\,3 + \pi k,\;\;\; — \frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{{11\pi }}{4}{\rm{;}}\;\;\;{\rm{arctg}}\,3 + 2\pi .\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2\pi ;3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: