4В. а) Решите уравнение \(4{\mathop{\rm ctg}\nolimits} 2x + {{\mathop{\rm ctg}\nolimits} ^2}2x — 5 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;0} \right].\)
а) \(4\,{\rm{ctg}}\,\,2x + {\rm{ct}}{{\rm{g}}^2}2x — 5 = 0.\) Пусть \({\rm{ctg}}\,2x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,R.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2} + 4t — 5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;\;\;}\\{{t} = — 5.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{ctg}}\,2x = 1,\,\,\,}\\{{\rm{ctg}}\,2x = — 5}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{\pi }{4} + \pi k,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{2x = — {\rm{arcctg}}\,5 + \pi k}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{8} + \frac{{\pi k}}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = — \frac{1}{2}{\rm{arcctg}}\,5 + \frac{{\pi k}}{2},}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{8} — \pi = — \frac{{7\pi }}{8};\,\,\,\,\,\,x = \frac{\pi }{8} — \frac{\pi }{2} = — \frac{{3\pi }}{8};\,\,\) \(x = — \frac{1}{2}{\rm{arcctg}}\,5;\;\;\;\;x = — \frac{1}{2}{\rm{arcctg}}\,5 — \frac{\pi }{2}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{8} + \frac{{\pi k}}{2},\;\;\;\; — \frac{1}{2}{\rm{arcctg}}\,5 + \frac{{\pi k}}{2},\;\;\;k \in Z;\) б) \( — \frac{{3\pi }}{8};\,\,\;\; — \frac{{7\pi }}{8};\;\;\; — \frac{1}{2}{\rm{arcctg}}\,5;\;\;\;\; — \frac{1}{2}{\rm{arcctg}}\,5 — \frac{\pi }{2}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;0} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: