а) \(4\,{\rm{ctg}}\,\,2x + {\rm{ct}}{{\rm{g}}^2}2x — 5 = 0.\)
Пусть \({\rm{ctg}}\,2x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,R.\) Тогда уравнение примет вид:
\({t^2} + 4t — 5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;\;\;}\\{{t} = — 5.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{ctg}}\,2x = 1,\,\,\,}\\{{\rm{ctg}}\,2x = — 5}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \dfrac{\pi }{4} + \pi k,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{2x = — {\rm{arcctg}}\,5 + \pi k}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi k}}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = — \dfrac{1}{2}{\rm{arcctg}}\,5 + \frac{{\pi k}}{2},}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;0} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = \dfrac{\pi }{8} — \pi = — \dfrac{{7\pi }}{8};\,\,\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{8} — \dfrac{\pi }{2} = — \dfrac{{3\pi }}{8};\,\,\)
\(x = — \frac{1}{2}{\rm{arcctg}}\,5;\;\;\;\;x = — \frac{1}{2}{\rm{arcctg}}\,5 — \frac{\pi }{2}.\)
Ответ: а) \(\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi k}}{2},\;\;\;\; — \dfrac{1}{2}{\rm{arcctg}}\,5 + \dfrac{{\pi k}}{2},\;\;\;k \in Z;\)
б) \( — \dfrac{{3\pi }}{8};\,\,\;\; — \dfrac{{7\pi }}{8};\;\;\; — \dfrac{1}{2}{\rm{arcctg}}\,5;\;\;\;\; — \dfrac{1}{2}{\rm{arcctg}}\,5 — \dfrac{\pi }{2}.\)