40В. а) Решите уравнение \(5{\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin x\;\cos x + 6{\cos ^2}x = 5\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{{7\pi }}{2}; — 2\pi } \right].\)
а) \(5{\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin x\cos x + 6{\cos ^2}x = 5.\) Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \(5 = 5 \cdot 1 = 5\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right).\) Тогда уравнение примет вид: \(5{\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin x\cos x + 6{\cos ^2}x = 5\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sqrt 3 \sin x\cos x + {\cos ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x\left( {\sqrt 3 \sin x + \cos x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,\;\;\;\;\;\;}\\{\sqrt 3 {\rm{tg}}\,x + 1 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,\;\;\;\;\;\;}\\{{\rm{tg}}\,x = — \frac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\,}\\{x = — \frac{\pi }{6} + \pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{2} — 3\pi = — \frac{{5\pi }}{2}{\rm{;}}\;\;\;x = \frac{\pi }{2} — 4\pi = — \frac{{7\pi }}{2}{\rm{;}}\) \(x = — \frac{\pi }{6} — 2\pi = — \frac{{13\pi }}{6}{\rm{;}}\;\;\;x = — \frac{\pi }{6} — 3\pi = — \frac{{19\pi }}{6}.\) Ответ: а) \( — \frac{\pi }{6} + \pi k,\;\;\;\frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;k \in Z;\) б) \( — \frac{{5\pi }}{2}{\rm{;}}\;\;\; — \frac{{7\pi }}{2}{\rm{;}}\;\;\; — \frac{{13\pi }}{6}{\rm{;}}\;\;\; — \frac{{19\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{7\pi }}{2}; — 2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: