41В. а) Решите уравнение \(2{\sin ^2}x — 3\sin x\;\cos x + 4{\cos ^2}x = 4\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 3\pi ; — 2\pi } \right].\)
а) \(2{\sin ^2}x — 3\sin x\cos x + 4{\cos ^2}x = 4.\) Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \(4 = 4 \cdot 1 = 4\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right).\) Тогда уравнение примет вид: \(2{\sin ^2}x — 3\sin x\cos x + 4{\cos ^2}x = 4\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right).\) \(2{\sin ^2}x + 3\sin x\cos x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\sin x\left( {2\sin x + 3\cos x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\;\;\;}\\{{\rm{2tg}}\,x + 3 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,}\\{{\rm{tg}}\,x = — \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = — {\rm{arctg}}\,\,\frac{3}{2} + \pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = — 3\pi {\rm{;}}\;\;\;x = — 2\pi {\rm{;}}\) \(x = — {\rm{arctg}}\,\,\frac{3}{2} — 2\pi .\) Ответ: а) \( — {\rm{arctg}}\,\,\frac{3}{2} + \pi k,\;\;\;\pi k,\;\;\;k \in Z;\) б) \( — 3\pi {\rm{;}}\;\;\; — 2\pi {\rm{;}}\;\;\; — {\rm{arctg}}\,\,\frac{3}{2} — 2\pi .\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 3\pi ; — 2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: