42В. а) Решите уравнение \(3{\sin ^2}2x — 2 = \sin 2x\;\cos 2x\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {3\pi ;\frac{{7\pi }}{2}} \right].\)
а) \(3{\sin ^2}2x — 2 = \sin 2x\cos 2x.\) Так как \({\sin ^2}2x + {\cos ^2}2x = 1,\) то \(2 = 2 \cdot 1 = 2\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right).\) Тогда уравнение примет вид: \(3{\sin ^2}2x — 2\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = \sin 2x\cos 2x.\) \({\sin ^2}2x — 2{\cos ^2}2x = \sin 2x\cos 2x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{tg}}{\,^2}\,2x — {\rm{tg}}\,2x — 2 = 0.\) Пусть \({\rm{tg}}\,2x = t,\,\,\,\,\,t\, \in R.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2} — t — 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 2,\,\,\;}\\{{t} = — 1.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,2x = 2\,,\;\,}\\{{\rm{tg}}\,2x = — 1\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = {\rm{arctg}}\,2 + \pi k,}\\{2x = — \frac{\pi }{4} + \pi k\;\,\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2}{\rm{arctg}}\,2 + \frac{{\pi k}}{2},}\\{x = — \frac{\pi }{8} + \frac{{\pi k}}{2},\,\;\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{{7\pi }}{2} — \frac{\pi }{8} = \frac{{27\pi }}{8}{\rm{;}}\) \(x = \frac{1}{2}{\rm{arctg}}\,2 + 3\pi .\) Ответ: а) \(\frac{1}{2}{\rm{arctg}}\,2 + \frac{{\pi k}}{2},\;\;\; — \frac{\pi }{8} + \frac{{\pi k}}{2},\;\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{{27\pi }}{8}{\rm{;}}\;\;\;\frac{1}{2}{\rm{arctg}}\,2 + 3\pi .\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {3\pi ;\frac{{7\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: