43В. а) Решите уравнение  \(3{\sin ^2}\frac{x}{3} + 4{\cos ^2}\frac{x}{3} = 3 + \sqrt 3 \sin \frac{x}{3}\cos \frac{x}{3}\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ { — 4\pi ; — 2\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{\pi }{2} + 3\pi k;\quad \frac{{3\pi }}{2} + 3\pi k;\quad k \in Z;\)

б) \( — \frac{{5\pi }}{2}.\)

Решение

a) \(3{\sin ^2}\frac{x}{3} + 4{\cos ^2}\frac{x}{3} = 3 + \sqrt 3 \sin \frac{x}{3}\cos \frac{x}{3}.\)

Так как \({\sin ^2}\frac{x}{3} + {\cos ^2}\frac{x}{3} = 1\), то  \(3 = 3 \cdot 1 = 3\left( {{{\sin }^2}\frac{x}{3} + {{\cos }^2}\frac{x}{3}} \right).\)

\(3{\sin ^2}\frac{x}{3} + 4{\cos ^2}\frac{x}{3} = 3{\sin ^2}\frac{x}{3} + 3{\cos ^2}\frac{x}{3} + \sqrt 3 \sin \frac{x}{3}\cos \frac{x}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt 3 \sin \frac{x}{3}\cos \frac{x}{3} — {\cos ^2}\frac{x}{3} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos \frac{x}{3}\left( {\sqrt 3 \sin \frac{x}{3} — \cos \frac{x}{3}} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \frac{x}{3} = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\sqrt 3 \sin \frac{x}{3} — \cos \frac{x}{3} = 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \frac{x}{3} = 0,\;\;\;\;\;\;}\\{\sqrt 3 {\rm{tg}}\frac{x}{3} — 1 = 0}\end{array}} \right.} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \frac{x}{3} = 0,\;}\\{{\rm{tg}}\frac{x}{3} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{3} = \frac{\pi }{2} + \pi k,\,\,}\\{\frac{x}{3} = \frac{\pi }{6} + \pi k\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{3\pi }}{2} + 3\pi k,\,\,}\\{x = \frac{\pi }{2} + 3\pi k,\,\,\,\,\,}\end{array}\;\;\;\;k\, \in \,Z.} \right.\,\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 4\pi ; — 2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: \(x = \frac{\pi }{2} — 3\pi  =  — \frac{{5\pi }}{2}.\)

Ответ:  а)  \(\frac{\pi }{2} + 3\pi k,\,\,\,\,\,\frac{{3\pi }}{2} + 3\pi k,\,\;\;k\, \in \,Z;\)

             б)  \( — \frac{{5\pi }}{2}.\)