a) \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{2} — 2x} \right) = 0.\)
Используя формулы приведения, получим: \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right) = \cos 2x,\;\;\,\,\,\,\cos \left( {\frac{\pi }{2} — 2x} \right) = \sin 2x.\;\)
Тогда получим однородное тригонометрическое уравнение первой степени:
\(\cos 2x + \sin 2x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{\rm{tg}}2x + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{\rm{tg}}2x = — 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;2x = — \frac{\pi }{4} + \pi k\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = — \frac{\pi }{8} + \frac{{\pi k}}{2},\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение:
\(x = \frac{{3\pi }}{2} — \frac{\pi }{8} = \frac{{11\pi }}{8}.\)
Ответ: а) \( — \frac{\pi }{8} + \frac{{\pi k}}{2},\,\;\;k\, \in \,Z;\)
б) \(\frac{{11\pi }}{8}.\)