44В. а) Решите уравнение  \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{2} — 2x} \right) = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( — \frac{\pi }{8} + \frac{{\pi k}}{2};\quad k \in Z;\)

б) \(\frac{{11\pi }}{8}.\)

Решение

a) \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{2} — 2x} \right) = 0.\)

Используя формулы приведения, получим: \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right) = \cos 2x,\;\;\,\,\,\,\cos \left( {\frac{\pi }{2} — 2x} \right) = \sin 2x.\;\)

Тогда получим однородное тригонометрическое уравнение первой степени:

\(\cos 2x + \sin 2x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{\rm{tg}}2x + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{\rm{tg}}2x =  — 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;2x =  — \frac{\pi }{4} + \pi k\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x =  — \frac{\pi }{8} + \frac{{\pi k}}{2},\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\) 

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение:

\(x = \frac{{3\pi }}{2} — \frac{\pi }{8} = \frac{{11\pi }}{8}.\)

Ответ:  а)  \( — \frac{\pi }{8} + \frac{{\pi k}}{2},\,\;\;k\, \in \,Z;\)

             б)  \(\frac{{11\pi }}{8}.\)