45В. а) Решите уравнение  \(\sqrt 3 \sin \left( {\pi — \frac{x}{3}} \right) + 3\sin \left( {\frac{\pi }{2} — \frac{x}{3}} \right) = 0.\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ {\pi ;3\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( — \pi  + 3\pi k;\quad k \in Z;\)

б) \(2\pi .\)

Решение

a) \(\sqrt 3 \sin \left( {\pi — \frac{x}{3}} \right) + 3\sin \left( {\frac{\pi }{2} — \frac{x}{3}} \right) = 0.\)

Используя формулы приведения, получим: \(\sin \left( {\pi  — \frac{x}{3}} \right) = \sin \frac{x}{3},\;\;\,\,\,\,\sin \left( {\frac{\pi }{2} — \frac{x}{3}} \right) = \cos \frac{x}{3}.\;\)

Тогда получим однородное тригонометрическое уравнение первой степени:

\(\sqrt 3 \sin \frac{x}{3} + 3\cos \frac{x}{3} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\sqrt 3 {\rm{tg}}\frac{x}{3} + 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{\rm{tg}}\frac{x}{3} =  — \frac{3}{{\sqrt 3 }}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;{\rm{tg}}\frac{x}{3} =  — \sqrt 3 \;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{x}{3} =  — \frac{\pi }{3} + \pi k\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x =  — \pi  + 3\pi k,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\) 

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение:

\(x = 3\pi  — \pi  = 2\pi .\)

Ответ:  а)  \( — \pi  + 3\pi k,\,\;\;k\, \in \,Z;\)

             б)  \(2\pi .\)