a) \(\sqrt 3 \sin \left( {\pi — \frac{x}{3}} \right) + 3\sin \left( {\frac{\pi }{2} — \frac{x}{3}} \right) = 0.\)
Используя формулы приведения, получим: \(\sin \left( {\pi — \frac{x}{3}} \right) = \sin \frac{x}{3},\;\;\,\,\,\,\sin \left( {\frac{\pi }{2} — \frac{x}{3}} \right) = \cos \frac{x}{3}.\;\)
Тогда получим однородное тригонометрическое уравнение первой степени:
\(\sqrt 3 \sin \frac{x}{3} + 3\cos \frac{x}{3} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\sqrt 3 {\rm{tg}}\frac{x}{3} + 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{\rm{tg}}\frac{x}{3} = — \frac{3}{{\sqrt 3 }}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;{\rm{tg}}\frac{x}{3} = — \sqrt 3 \;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{x}{3} = — \frac{\pi }{3} + \pi k\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = — \pi + 3\pi k,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение:
\(x = 3\pi — \pi = 2\pi .\)
Ответ: а) \( — \pi + 3\pi k,\,\;\;k\, \in \,Z;\)
б) \(2\pi .\)