46В. а) Решите уравнение  \(\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} — x} \right) — \cos x = 0,5\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ {\pi ;3\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad k \in Z;\)

б) \(\frac{{13\pi }}{6};\;\;\frac{{17\pi }}{6}.\)

Решение

а) \(\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} — x} \right) — \cos x = 0,5.\)

Воспользуемся формулой косинуса разности:

\(\cos \left( {\alpha  — \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta  + \sin \alpha \sin \beta \).

Тогда уравнение примет вид:

\(\sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4}\cos x + \sin \frac{\pi }{4}\sin x} \right) — \cos x = \frac{1}{2}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\sqrt 2  \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x + \sqrt 2  \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x — \cos x = \frac{1}{2}\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x = \frac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x = 2\pi  + \frac{\pi }{6} = \frac{{13\pi }}{6};\)  \(x = 2\pi  + \frac{{5\pi }}{6} = \frac{{17\pi }}{6}.\)

Ответ:  а)  \(\frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\;\;\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;k\, \in \,Z;\)

             б)  \(\frac{{13\pi }}{6};\;\;\;\frac{{17\pi }}{6}.\)