47В. а) Решите уравнение  \(\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} — \frac{x}{2}} \right) + \sin \frac{x}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ { — \pi ;\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( \pm \frac{\pi }{3} + 4\pi k;\quad k \in Z;\)

б) \( — \frac{\pi }{3};\;\;\frac{\pi }{3}.\)

Решение

a) \(\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} — \frac{x}{2}} \right) + \sin \frac{x}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

Воспользуемся формулой синуса разности:

\(\sin \left( {\alpha  — \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta  — \cos \alpha \sin \beta .\)

Тогда уравнение примет вид:

\(\sqrt 2 \left( {\sin \frac{\pi }{4}\cos \frac{x}{2} — \cos \frac{\pi }{4}\sin \frac{x}{2}} \right) + \sin \frac{x}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \frac{x}{2} — \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \frac{x}{2}} \right) + \sin \frac{x}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos \frac{x}{2} — \sin \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos \frac{x}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{x}{2} =  \pm \frac{\pi }{6} + 2\pi k\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x =  \pm \frac{\pi }{3} + 4\pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: \( — \frac{\pi }{3};\;\;\;\frac{\pi }{3}.\)

Ответ:  а)  \( \pm \frac{\pi }{3} + 4\pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)

             б)  \( — \frac{\pi }{3};\,\,\,\,\,\frac{\pi }{3}.\)