47В. а) Решите уравнение \(\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} — \frac{x}{2}} \right) + \sin \frac{x}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;\pi } \right].\)
ОТВЕТ: а) \( \pm \frac{\pi }{3} + 4\pi k;\quad k \in Z;\) б) \( — \frac{\pi }{3};\;\;\frac{\pi }{3}.\)
a) \(\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} — \frac{x}{2}} \right) + \sin \frac{x}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\) Воспользуемся формулой синуса разности: \(\sin \left( {\alpha — \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta .\) Тогда уравнение примет вид: \(\sqrt 2 \left( {\sin \frac{\pi }{4}\cos \frac{x}{2} — \cos \frac{\pi }{4}\sin \frac{x}{2}} \right) + \sin \frac{x}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \frac{x}{2} — \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \frac{x}{2}} \right) + \sin \frac{x}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos \frac{x}{2} — \sin \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos \frac{x}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi }{6} + 2\pi k\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm \frac{\pi }{3} + 4\pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: \( — \frac{\pi }{3};\;\;\;\frac{\pi }{3}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{\pi }{3} + 4\pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{\pi }{3};\,\,\,\,\,\frac{\pi }{3}.\)