48В. а) Решите уравнение \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x — \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x = 1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\pi ;5\pi } \right].\)
ОТВЕТ: а) \(\frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\quad k \in Z;\) б) \(\frac{{11\pi }}{4};\;\;\frac{{19\pi }}{4}.\)
а) \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x — \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\cos \frac{\pi }{4} — \cos x\sin \frac{\pi }{4} = 1.\) Воспользуемся формулой синуса разности: \(\sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta = \sin \left( {\alpha — \beta } \right).\) Тогда уравнение примет вид: \(\sin \left( {x — \frac{\pi }{4}} \right) = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x — \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + 2\pi k\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;5\pi } \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\): \(\pi \le \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k \le 5\pi \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\frac{\pi }{4} \le 2\pi k \le \frac{{17\pi }}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\frac{1}{8} \le k \le \frac{{17}}{8}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k = 1,\;\;\;\;k = 2.\) При \(k = 1,\;\;\;x = \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi = \frac{{11\pi }}{4};\) При \(k = 2,\;\;\;x = \frac{{3\pi }}{4} + 4\pi = \frac{{19\pi }}{4}.\) Следовательно, заданному промежутку принадлежат корни \(\frac{{11\pi }}{4};\;\;\;\frac{{19\pi }}{4}.\) Ответ: а) \(\frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \(\frac{{11\pi }}{4};\,\,\,\,\,\frac{{19\pi }}{4}.\)