48В. а) Решите уравнение  \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x — \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x = 1\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ {\pi ;5\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\quad k \in Z;\)

б) \(\frac{{11\pi }}{4};\;\;\frac{{19\pi }}{4}.\)

Решение

а)

\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x — \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\cos \frac{\pi }{4} — \cos x\sin \frac{\pi }{4} = 1.\)

Воспользуемся формулой синуса разности:   

\(\sin \alpha \cos \beta  — \cos \alpha \sin \beta  = \sin \left( {\alpha  — \beta } \right).\)

Тогда уравнение примет вид:

\(\sin \left( {x — \frac{\pi }{4}} \right) = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x — \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + 2\pi k\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;5\pi } \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\):

\(\pi  \le \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k \le 5\pi \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\frac{\pi }{4} \le 2\pi k \le \frac{{17\pi }}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\frac{1}{8} \le k \le \frac{{17}}{8}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k = 1,\;\;\;\;k = 2.\)

При \(k = 1,\;\;\;x = \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi  = \frac{{11\pi }}{4};\)

При \(k = 2,\;\;\;x = \frac{{3\pi }}{4} + 4\pi  = \frac{{19\pi }}{4}.\)

Следовательно, заданному промежутку принадлежат корни \(\frac{{11\pi }}{4};\;\;\;\frac{{19\pi }}{4}.\)

Ответ:  а)  \(\frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)

             б)  \(\frac{{11\pi }}{4};\,\,\,\,\,\frac{{19\pi }}{4}.\)