49В. а) Решите уравнение \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x — \frac{1}{2}\sin x = 1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\pi ;3\pi } \right]\)
a) \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x — \frac{1}{2}\sin x = 1.\) Так как \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \cos \frac{\pi }{6},\;\;\;\frac{1}{2} = \sin \frac{\pi }{6},\;\)то уравнение примет вид: \(\cos \frac{\pi }{6}\cos x — \sin \frac{\pi }{6}\sin x = 1.\) Воспользуемся формулой косинуса суммы: \(\cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta = \cos \left( {\alpha + \beta } \right)\). Тогда уравнение примет вид: \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x + \frac{\pi }{6} = 2\pi k\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = — \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\) \(x = 2\pi — \frac{\pi }{6} = \frac{{11\pi }}{6}.\) Ответ: а) \( — \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \(\frac{{11\pi }}{6}\).
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: