5В. а) Решите уравнение \(3{\sin ^2}2x + 10\sin 2x + 3 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\pi } \right].\)
а) \(3{\sin ^2}2x + 10\sin 2x + 3 = 0.\) Пусть \(\sin 2x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ { — 1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид: \(3{t^2} + 10t + 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = — \frac{1}{3},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{t} = — 3 \notin \left[ { — 1;1} \right].}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\sin 2x = — \frac{1}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = — \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi k,\;\;\;\;\;}\\{2x = \pi + \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi k\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = — \frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{3} + \pi k,\;\;\;\;\;}\\{x = \frac{\pi }{2} + \frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{3} + \pi k,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(\pi — \frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{3};\;\;\;\;\frac{\pi }{2} + \frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{3}.\) Ответ: а) \( — \frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{3} + \pi k,\;\;\;\;\frac{\pi }{2} + \frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{3} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z;\) б) \(\pi — \frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{3};\;\;\;\;\frac{\pi }{2} + \frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{3}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: