50В. а) Решите уравнение \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = 1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{2}; — \frac{\pi }{2}} \right].\)
a) \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = 1.\) Уравнение вида: \(a\sin x + b\cos x = c,\;\;\)где \(\;a = 1,\,\,\,\,b = \sqrt 3 ,\;\;c = 1.\) Разделим обе части исходного уравнения на \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\;\) то есть на \(\sqrt {{1^2} + {{\sqrt 3 }^2}} = 2\). \(\frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \frac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos \frac{\pi }{3}\sin x + \sin \frac{\pi }{3}\cos x = \frac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\;\;\;\,\,\,}\\{x + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k\;\,\,\,\,\,\,}\end{array} \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = — \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,\,}\\{x = \frac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\,\,\,\,\,\,}\end{array}\;\;k\, \in \,Z.} \right.\) \(x = — \frac{\pi }{6} — 2\pi = — \frac{{13\pi }}{6};\,\)\(x = \frac{\pi }{2} — 2\pi = — \frac{{3\pi }}{2}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{2} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\pi }{2} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{{13\pi }}{6};\,\,\,\,\,\,\, — \frac{{3\pi }}{2}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{2}; — \frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: