51В. а) Решите уравнение \(\sin x + \cos x = 1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;\pi } \right].\)
а) \(\sin x + \cos x = 1.\) Уравнение вида: \(a\sin x + b\cos x = c,\;\;\)где \(\;a = 1,\,\,\,\,b = 1,\;\;c = 1.\) Разделим обе части исходного уравнения на \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\;\) то есть на \(\sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 .\) \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos \frac{\pi }{4}\sin x + \sin \frac{\pi }{4}\cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\;\;\;\,\,\,}\\{x + \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k\,\,\,\,\,\,\,}\end{array} \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\pi k,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\\{x = \frac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\,\,\,\,\,\,}\end{array}k\, \in \,Z.} \right.\) \(x = 0;\,\,\,\,\,\,x = \frac{\pi }{2}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{2} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,2\pi k,\;\;\;\;k\, \in \,Z;\) б) \(0;\,\,\,\,\,\,\frac{\pi }{2}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: