52В. а) Решите уравнение  \(\sin 2x\cos 3x + \cos 2x\sin 3x = \cos 5x\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ {0;\frac{\pi }{5}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{\pi }{{20}} + \frac{{\pi k}}{5};\quad k \in Z;\)

б) \(\frac{\pi }{{20}}.\)

Решение

a) \(\sin \,2x\cos \,3x + \cos 2x\sin 3x = \cos 5x.\)

Воспользуемся формулой синуса суммы: 

 \(\sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \sin \beta  = \sin \left( {\alpha  + \beta } \right).\)

Тогда уравнение примет вид:

\(\sin \left( {2x + 3x} \right) = \cos 5x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 5x = \cos 5x\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{\rm{tg}}\,5x = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;5x = \frac{\pi }{4} + \pi k\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{\pi k}}{5},\,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\frac{\pi }{5}} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\):

\(0 \le \frac{\pi }{{20}} + \frac{{\pi k}}{5} \le \frac{\pi }{5}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; — \frac{\pi }{{20}} \le \frac{{\pi k}}{5} \le \frac{{3\pi }}{{20}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; — \frac{1}{4} \le k \le \frac{3}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k = 0.\)

При \(k = 0,\) \(x = \frac{\pi }{{20}}.\)         

Следовательно, заданному промежутку принадлежит корень: \(x = \frac{\pi }{{20}}.\)

Ответ:  а)  \(\frac{\pi }{{20}} + \frac{{\pi k}}{5},\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)

             б)  \(\frac{\pi }{{20}}\).