53В. а) Решите уравнение \(\cos x\cos 3x — \sin x\sin 3x = \sin 4x\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ; — \frac{{3\pi }}{4}} \right].\)
ОТВЕТ: а) \(\frac{\pi }{{16}} + \frac{{\pi k}}{4};\quad k \in Z;\) б) \( — \frac{{15\pi }}{{16}}.\)
а) \(\cos x\cos 3x — \sin x\sin 3x = \sin 4x.\) Воспользуемся формулой косинуса суммы: \(\cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta = \cos \left( {\alpha + \beta } \right).\) Тогда уравнение примет вид: \(\cos \left( {x + 3x} \right) = \sin 4x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos 4x = \sin 4x\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{\rm{tg}}\,4x = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;4x = \frac{\pi }{4} + \pi k\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{\pi k}}{4},\,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ; — \frac{{3\pi }}{4}} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\): \( — \pi \le \frac{\pi }{{16}} + \frac{{\pi k}}{4} \le — \frac{{3\pi }}{4}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; — \frac{{17\pi }}{{16}} \le \frac{{\pi k}}{4} \le — \frac{{13\pi }}{{16}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; — \frac{{17}}{4} \le k \le — \frac{{13}}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k = — 4.\) При \(k = — 4,\) \(x = \frac{\pi }{{16}} — \pi = — \frac{{15\pi }}{{16}}.\) Следовательно, заданному промежутку принадлежит корень: \(x = — \frac{{15\pi }}{{16}}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{{16}} + \frac{{\pi k}}{4},\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{{15\pi }}{{16}}.\)