53В. а) Решите уравнение  \(\cos x\cos 3x — \sin x\sin 3x = \sin 4x\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ { — \pi ; — \frac{{3\pi }}{4}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{\pi }{{16}} + \frac{{\pi k}}{4};\quad k \in Z;\)

б) \( — \frac{{15\pi }}{{16}}.\)

Решение

а) \(\cos x\cos 3x — \sin x\sin 3x = \sin 4x.\)

Воспользуемся формулой косинуса суммы:

  \(\cos \alpha \cos \beta  — \sin \alpha \sin \beta  = \cos \left( {\alpha  + \beta } \right).\)

Тогда уравнение примет вид:

\(\cos \left( {x + 3x} \right) = \sin 4x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos 4x = \sin 4x\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{\rm{tg}}\,4x = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;4x = \frac{\pi }{4} + \pi k\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{\pi k}}{4},\,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ; — \frac{{3\pi }}{4}} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\):

\( — \pi  \le \frac{\pi }{{16}} + \frac{{\pi k}}{4} \le  — \frac{{3\pi }}{4}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; — \frac{{17\pi }}{{16}} \le \frac{{\pi k}}{4} \le  — \frac{{13\pi }}{{16}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; — \frac{{17}}{4} \le k \le  — \frac{{13}}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k =  — 4.\)

При \(k =  — 4,\)  \(x = \frac{\pi }{{16}} — \pi  =  — \frac{{15\pi }}{{16}}.\)

Следовательно, заданному промежутку принадлежит корень: \(x =  — \frac{{15\pi }}{{16}}.\)

Ответ:  а)  \(\frac{\pi }{{16}} + \frac{{\pi k}}{4},\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)

             б)  \( — \frac{{15\pi }}{{16}}.\)