54В. а) Решите уравнение  \(\sin 2x-2\cos x = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ {-\pi ;0} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\quad k \in Z;\)

б) \(-\dfrac{\pi }{2}.\)

Решение

а) \(\sin 2x-2\cos x = 0.\)

\(2\sin x\cos x-2\cos x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\,2\cos x\left( {\sin x-1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,}\\{\sin x = 1\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{2} + \pi k,\;\;}\\{x = \dfrac{\pi }{2} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\,\;\;k \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \dfrac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\,\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\pi ;0} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение:

\(x = \dfrac{\pi }{2}-\pi  = -\dfrac{\pi }{2}.\)

Ответ:  а)  \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;k\, \in \,Z;\)

             б)  \(-\dfrac{\pi }{2}.\)