Профиль №13. Тригонометрические уравнения. Задача 54Вmath100admin44242023-09-16T18:06:16+03:00
54В. а) Решите уравнение \(\sin 2x — 2\cos x = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;0} \right].\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \(\frac{\pi }{2} + \pi k;\quad k \in Z;\)
б) \( — \frac{\pi }{2}.\)
Решение
а) \(\sin 2x — 2\cos x = 0.\)
\(2\sin x\cos x — 2\cos x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\,2\cos x\left( {\sin x — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,}\\{\sin x = 1\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;}\\{x = \frac{\pi }{2} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\,\;\;k \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\,\;\;k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;0} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение:
\(x = \frac{\pi }{2} — \pi = — \frac{\pi }{2}.\)
Ответ: а) \(\frac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\;\;\;k\, \in \,Z;\)
б) \( — \frac{\pi }{2}.\)