55В. а) Решите уравнение \(\sin x\cos x = \frac{1}{4}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;\pi } \right].\)
a) \(\sin x\cos x = \frac{1}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin x\cos x = \frac{1}{4} \cdot 2.\) Так как \(2\sin x\cos x = \sin 2x\), то уравнение примет вид: \(\sin 2x = \frac{1}{2}\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\;\;\;\,\,\,}\\{2x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k\,\,\,\,\,\,\,}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{12}} + \pi k,\,\;\,\,\,\;}\\{x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \pi k,\,\,\,\,\,\,}\end{array}k\, \in \,Z.} \right.\,\) \(x = \frac{\pi }{{12}} — \pi = — \frac{{11\pi }}{{12}};\) \(x = \frac{{5\pi }}{{12}} — \pi = — \frac{{7\pi }}{{12}};\,\,\,\,\,\;x = \frac{\pi }{{12}};\,\;\,\,\,\,x = \frac{{5\pi }}{{12}}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{{12}} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{5\pi }}{{12}} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{{11\pi }}{{12}};\,\,\,\, — \frac{{7\pi }}{{12}};\,\,\;\frac{\pi }{{12}};\,\;\,\,\frac{{5\pi }}{{12}}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: