56В. а) Решите уравнение \({\sin ^2}x — {\cos ^2}x = \frac{1}{2}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;\pi } \right].\)
а) \({\sin ^2}x — {\cos ^2}x = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\cos ^2}x — {\sin ^2}x = — \frac{1}{2}.\) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \({\cos ^2}\alpha — {\sin ^2}\alpha = \cos 2\alpha .\) \(\cos 2x = — \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = \pm \frac{\pi }{3} + \pi k,\,\,\,\,\,\,k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{3} — \pi = — \frac{{2\pi }}{3};\) \(x = — \frac{\pi }{3};\,\,\;x = \frac{\pi }{3};\,\;\,x = \pi — \frac{\pi }{3} = \,\frac{{2\pi }}{3}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{\pi }{3} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{{2\pi }}{3};\,\,\,\, — \frac{\pi }{3};\,\,\;\frac{\pi }{3};\,\;\,\,\frac{{2\pi }}{3}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: