57В. а) Решите уравнение \(1 + \cos x = 2\cos \frac{x}{2}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;\pi } \right].\)
а) \(1 + \cos x = 2\cos \frac{x}{2}.\) Воспользуемся формулой \(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha — 1,\) то есть \(\cos x = 2{\cos ^2}\frac{x}{2} — 1.\) Тогда уравнение примет вид: \(1 + 2{\cos ^2}\frac{x}{2} — 1 = 2\cos \frac{x}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\cos \frac{x}{2}\left( {\cos \frac{x}{2} — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \frac{x}{2} = 0,}\\{\cos \frac{x}{2} = 1\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + \pi k,}\\{\frac{x}{2} = 2\pi k\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi + 2\pi k,\;}\\{x = 4\pi k,\;\;\,\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \pi — 2\pi = — \pi ;\) \(x = 0;\,\;\,\,x = \pi .\) Ответ: а) \(\pi + 2\pi k,\;\;\;\;4\pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \pi ;\,\,\;0;\,\;\,\,\pi .\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: