58В. а) Решите уравнение \(2\cos 2x + 4\sqrt 3 \cos x — 7 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{{5\pi }}{2};4\pi } \right].\)
a) \(2\cos 2x + 4\sqrt 3 \cos x — 7 = 0.\) Воспользуемся формулой \(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha — 1.\) Тогда уравнение примет вид: \(2\left( {2{{\cos }^2}x — 1} \right) + 4\sqrt 3 \cos x — 7 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4{\cos ^2}x + 4\sqrt 3 \cos x — 9 = 0.\) Пусть \(\cos x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ {-1;1} \right].\) Тогда: \(4{t^2} + 4\sqrt 3 t — 9 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;D = 16 \cdot 3 + 16 \cdot 9 = 16 \cdot 12,\;\;\;\;\sqrt D = \sqrt {16 \cdot 12} = 8\sqrt 3 \,.\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{{ — 4\sqrt 3 + 8\sqrt 3 }}{8} = \frac{{\sqrt 3 }}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;}\\{{t} = \frac{{ — 4\sqrt 3 — 8\sqrt 3 }}{8} = \frac{{ — 3\sqrt 3 }}{2} = — \frac{{\sqrt {27} }}{2} < — 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{{\sqrt 3 }}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{t} = — \frac{{\sqrt {27} }}{2} \notin \,\left[ { — 1;1} \right].\;}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = \pm \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\) \(x = — \frac{\pi }{6} + 4\pi = \frac{{23\pi }}{6}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \(\frac{{23\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{{5\pi }}{2};4\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: