a) \(2{\sin ^4}x + 3\cos 2x + 1 = 0.\)
Воспользуемся формулой \(\cos 2\alpha = 1 — 2{\sin ^2}\alpha .\) Тогда уравнение примет вид:
\(2{\sin ^4}x + 3\left( {1 — 2{{\sin }^2}x} \right) + 1 = 0.\)
Пусть \({\sin ^2}x = t,\,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ {0;1} \right]\). Тогда:
\(2{t^2} + 3\left( {1 — 2t} \right) + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;2{t^2} — 6t + 4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} — 3t + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{t} = 2\, \notin \,\left[ {0;1} \right].}\end{array}} \right.\)
Вернемся к прежней переменной:
\({\sin ^2}x = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1 — {\sin ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\cos ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \dfrac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = \dfrac{\pi }{2} + \pi = \dfrac{{3\pi }}{2};\,\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{2} + 2\pi = \dfrac{{5\pi }}{2}.\)
Ответ: а) \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)
б) \(\dfrac{{3\pi }}{2};\,\,\,\,\,\dfrac{{5\pi }}{2}.\)