59В. а) Решите уравнение \(2{\sin ^4}x + 3\cos 2x + 1 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\pi ;3\pi } \right].\)
a) \(2{\sin ^4}x + 3\cos 2x + 1 = 0.\) Воспользуемся формулой \(\cos 2\alpha = 1 — 2{\sin ^2}\alpha .\) Тогда уравнение примет вид: \(2{\sin ^4}x + 3\left( {1 — 2{{\sin }^2}x} \right) + 1 = 0.\) Пусть \({\sin ^2}x = t,\,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ {0;1} \right]\). Тогда: \(2{t^2} + 3\left( {1 — 2t} \right) + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;2{t^2} — 6t + 4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} — 3t + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{t} = 2\, \notin \,\left[ {0;1} \right].}\end{array}} \right.\) Вернемся к прежней переменной: \({\sin ^2}x = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1 — {\sin ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\cos ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\) \(x = \frac{\pi }{2} + \pi = \frac{{3\pi }}{2};\,\,\,\,\,x = \frac{\pi }{2} + 2\pi = \frac{{5\pi }}{2}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \(\frac{{3\pi }}{2};\,\,\,\,\,\frac{{5\pi }}{2}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: