6В. а) Решите уравнение \(2{\cos ^2}3x — 5\cos 3x — 3 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\)
а) \(2{\cos ^2}3x — 5\cos 3x — 3 = 0.\) Пусть \(\cos 3x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ { — 1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид: \(2{t^2} — 5t — 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = — \frac{1}{2},\,\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{t} = 3 \notin \left[ { — 1;1} \right].}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\cos 3x = — \frac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{2\pi k}}{3},\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = — \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{10\pi }}{9}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{2\pi k}}{3},\;\;\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{{10\pi }}{9}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: