а) \(2{\cos ^2}3x — 5\cos 3x — 3 = 0.\)
Пусть \(\cos 3x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ { — 1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид:
\(2{t^2} — 5t — 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = — \dfrac{1}{2},\,\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{t} = 3 \notin \left[ { — 1;1} \right].}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\cos 3x = — \dfrac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm \dfrac{{2\pi }}{9} + \dfrac{{2\pi k}}{3},\;\;\;\;k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение:
\(x = — \dfrac{{2\pi }}{9} + \dfrac{{4\pi }}{3} = \dfrac{{10\pi }}{9}.\)
Ответ: а) \( \pm \dfrac{{2\pi }}{9} + \dfrac{{2\pi k}}{3},\;\;\;\;k \in Z;\)
б) \(\dfrac{{10\pi }}{9}.\)