60В. а) Решите уравнение \(4{\sin ^4}2x + 3\cos 4x — 1 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right].\)
ОТВЕТ: а) \(\frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2};\quad \frac{\pi }{8} + \frac{{\pi k}}{4};\quad k \in Z;\) б) \(\frac{{9\pi }}{8};\quad \frac{{5\pi }}{4};\quad \frac{{11\pi }}{8}.\)
a) \(4{\sin ^4}2x + 3\cos 4x — 1 = 0.\) Воспользуемся формулой \(\cos 2\alpha = 1 — 2{\sin ^2}\alpha .\) Тогда уравнение примет вид: \(4{\sin ^4}2x + 3\left( {1 — 2{{\sin }^2}2x} \right) — 1 = 0.\) Пусть \({\sin ^2}2x = t,\,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ {0;1} \right].\) Тогда: \(4{t^2} + 3\left( {1 — 2t} \right) — 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{t^2} — 3t + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;}\\{{t} = \frac{1}{2}.}\end{array}} \right.\) Вернемся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\sin }^2}2x = 1,}\\{{{\sin }^2}2x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 — {{\sin }^2}2x = 0,}\\{\frac{{1 — \cos 4x}}{2} = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\cos }^2}2x = 0,\;\;\;}\\{1 — \cos 4x = 1\;\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = 0,}\\{\,\cos 4x = 0\;}\end{array}} \right.} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{4x = \frac{\pi }{2} + \pi k\;\;\;\;\;\;}\end{array} \Leftrightarrow \;} \right.\;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2},\,\,\,\,\,}\\{x = \frac{\pi }{8} + \frac{{\pi k}}{4},\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;k\, \in \,Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\): \(\frac{{3\pi }}{4} \le \frac{{\pi k}}{2} \le \frac{{5\pi }}{4},\) \(\frac{3}{2} \le k \le \frac{5}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k = 2.\) При \(k = 2,\) \(x = \frac{{5\pi }}{4}.\) \(\frac{{7\pi }}{8} \le \frac{{\pi k}}{4} \le \frac{{11\pi }}{8},\) \(\frac{7}{2} \le k \le \frac{{11}}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;k = 4,\;\;\;k = 5.\) При \(k = 4,\) \(x = \frac{{9\pi }}{8}.\) При \(k = 5,\) \(x = \frac{{11\pi }}{8}.\) Следовательно, заданному промежутку принадлежат корни: \(x = \frac{{9\pi }}{8};\,\,\;\,x = \frac{{5\pi }}{4};\;\,\,\,x = \frac{{11\pi }}{8}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\pi }{8} + \frac{{\pi k}}{4},\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,\,Z;\) б) \(\frac{{9\pi }}{8};\,\,\,\frac{{5\pi }}{4};\,\,\,\frac{{11\pi }}{8}.\)
\(\pi \le \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2} \le \frac{{3\pi }}{2},\)
\(\pi \le \frac{\pi }{8} + \frac{{\pi k}}{4} \le \frac{{3\pi }}{2},\)