а) \({\cos ^2}x — \dfrac{1}{2}\sin 2x + \cos x = \sin x.\)
Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид:
\({\cos ^2}x — \dfrac{1}{2} \cdot 2\sin x\cos x + \cos x = \sin x\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;{\cos ^2}x + \cos x — \sin x\cos x — \sin x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x\left( {\cos x + 1} \right) — \sin x\left( {\cos x + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\cos x + 1} \right)\left( {\cos x — \sin x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = — 1,\;\;}\\{\sin x = \cos x}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = — 1,\;\;}\\{{\rm{tg}}\,x = 1\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi + 2\pi k,}\\{x = \dfrac{\pi }{4} + \pi k,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\dfrac{\pi }{2};2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = \pi ;\,\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{4} + \pi = \dfrac{{5\pi }}{4}.\)
Ответ: а) \(\pi + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{\pi }{4} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,\,Z;\)
б) \(\pi ;\,\,\,\dfrac{{5\pi }}{4}.\)