61В. а) Решите уравнение  \({\cos ^2}x — \frac{1}{2}\sin 2x + \cos x = \sin x\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ {\frac{\pi }{2};\;2\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\pi  + 2\pi k;\quad \frac{\pi }{4} + \pi k;\quad k \in Z;\)

б) \(\pi ;\quad \frac{{5\pi }}{4}.\)

Решение

а) \({\cos ^2}x — \frac{1}{2}\sin 2x + \cos x = \sin x.\)

Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид:

\({\cos ^2}x — \frac{1}{2} \cdot 2\sin x\cos x + \cos x = \sin x\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;{\cos ^2}x + \cos x — \sin x\cos x — \sin x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x\left( {\cos x + 1} \right) — \sin x\left( {\cos x + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\cos x + 1} \right)\left( {\cos x — \sin x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x =  — 1,\;\;}\\{\sin x = \cos x}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x =  — 1,\;\;}\\{{\rm{tg}}\,x = 1\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi  + 2\pi k,}\\{x = \frac{\pi }{4} + \pi k,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{\pi }{2};2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x = \pi ;\,\,\,\,\,x = \frac{\pi }{4} + \pi  = \frac{{5\pi }}{4}.\)

Ответ:  а)  \(\pi  + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\pi }{4} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,\,Z;\)

             б)  \(\pi ;\,\,\,\frac{{5\pi }}{4}.\)