62В. а) Решите уравнение \(\frac{1}{2}\sin 2x + {\sin ^2}x — \sin x = \cos x\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 2\pi ; — \frac{\pi }{2}} \right].\)
а) \(\frac{1}{2}\sin 2x + {\sin ^2}x — \sin x = \cos x.\) Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид: \(\frac{1}{2} \cdot 2\sin x\cos x + {\sin ^2}x — \sin x = \cos x\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;{\sin ^2}x + \sin x\cos x — \sin x — \cos x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\left( {\sin x + \cos x} \right) — \left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\sin x — 1} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 1,\;\;\,\;\,\;\;\,\,}\\{\sin x = — \cos x}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 1,\;\;\;\;\;\;\;}\\{{\rm{tg}}\,x = — 1\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\;}\\{x = — \frac{\pi }{4} + \pi k,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{2} — 2\pi = — \frac{{3\pi }}{2};\,\;\,\,\;\,x = — \frac{\pi }{4} — \pi = \, — \frac{{5\pi }}{4}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{2} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\, — \frac{\pi }{4} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,\,Z;\) б) \( — \frac{{3\pi }}{2};\,\,\, — \frac{{5\pi }}{4}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 2\pi ; — \frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: