63В. а) Решите уравнение \(\sin 2x + 2{\sin ^2}x = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 2\pi ; — \frac{\pi }{2}} \right].\)
ОТВЕТ: а) \(\pi k;\quad — \frac{\pi }{4} + \pi k;\quad k \in Z;\) б) \( — 2\pi ;\quad — \frac{{5\pi }}{4};\quad — \pi .\)
a) \(\sin 2x + 2{\sin ^2}x = 0.\) Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид: \(2\sin x\cos x + 2{\sin ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin x\left( {\cos x + \sin x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\cos x + \sin x = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \(\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;}\\{1 + {\rm{tg}}\,x = 0}\end{array}} \right.\,\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;}\\{{\rm{tg}}\,x = — 1\;\;\;}\end{array}} \right.\,\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = — \frac{\pi }{4} + \pi k,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;k\, \in \,Z.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 2\pi ; — \frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: \(x = — 2\pi ;\,\,\,\,\,x = — \frac{\pi }{4} — \pi = — \frac{{5\pi }}{4};\,\,\,\,\,\,x = — \pi .\) Ответ: а) \(\pi k;\,\,\,\,\,\,\, — \frac{\pi }{4} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — 2\pi ;\,\,\, — \frac{{5\pi }}{4};\,\,\, — \pi .\)