63В. а) Решите уравнение  \(\sin 2x + 2{\sin ^2}x = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ { — 2\pi ; — \frac{\pi }{2}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\pi k;\quad  — \frac{\pi }{4} + \pi k;\quad k \in Z;\)

б) \( — 2\pi ;\quad  — \frac{{5\pi }}{4};\quad  — \pi .\)

Решение

a) \(\sin 2x + 2{\sin ^2}x = 0.\)

Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид:

\(2\sin x\cos x + 2{\sin ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin x\left( {\cos x + \sin x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\cos x + \sin x = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\(\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;}\\{1 + {\rm{tg}}\,x = 0}\end{array}} \right.\,\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;}\\{{\rm{tg}}\,x =  — 1\;\;\;}\end{array}} \right.\,\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x =  — \frac{\pi }{4} + \pi k,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;k\, \in \,Z.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 2\pi ; — \frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x =  — 2\pi ;\,\,\,\,\,x =  — \frac{\pi }{4} — \pi  =  — \frac{{5\pi }}{4};\,\,\,\,\,\,x =  — \pi .\)

Ответ:  а)  \(\pi k;\,\,\,\,\,\,\, — \frac{\pi }{4} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)

             б)  \( — 2\pi ;\,\,\, — \frac{{5\pi }}{4};\,\,\, — \pi .\)