64В. а) Решите уравнение  \(2{\sin ^2}x — \sqrt 3 \sin 2x = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ {\frac{{3\pi }}{2};3\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\pi k;\quad \frac{\pi }{3} + \pi k;\quad k \in Z;\)

б) \(2\pi ;\quad \frac{{7\pi }}{3};\quad 3\pi .\)

Решение

a) \(2{\sin ^2}x — \sqrt 3 \sin 2x = 0.\)

Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид:

\(2{\sin ^2}x — 2\sqrt 3 \sin x\cos x = 0\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin x\left( {\sin x — \sqrt 3 \cos x} \right) = 0\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sin x = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\sin x — \sqrt 3 \cos x = 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\,}\\{{\rm{tg}}\,x = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\,\,\,\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\,\,\,\,\,}\\{x = \frac{\pi }{3} + \pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;k\, \in \,Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{{3\pi }}{2};3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x = 2\pi ;\,\,\,\,x = \frac{\pi }{3} + 2\pi  = \frac{{7\pi }}{3};\,\,\,\,x = 3\pi .\)

Ответ:  а)  \(\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\pi }{3} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)

             б)  \(2\pi ;\,\,\,\,\frac{{7\pi }}{3};\,\,\,\,3\pi .\)