65В. а) Решите уравнение  \(\sin 2x + \sqrt 2 \sin x = 2\cos x + \sqrt 2 \);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку  \(\left[ {\pi ;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\quad  \pm \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\quad k \in Z;\)

б) \(\dfrac{{5\pi }}{4};\quad \dfrac{{5\pi }}{2}.\)

Решение

a) \(\sin 2x + \sqrt 2 \sin x = 2\cos x + \sqrt 2 .\)

Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид:

\(2\sin x\cos x + \sqrt 2 \sin x — 2\cos x — \sqrt 2  = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\sin x\left( {2\cos x + \sqrt 2 } \right) — \left( {2\cos x + \sqrt 2 } \right) = 0\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\left( {2\cos x + \sqrt 2 } \right)\left( {\sin x — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x =  — \dfrac{{\sqrt 2 }}{2},}\\{\sin x = 1\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  \pm \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\,\,\,}\\{x = \dfrac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\;\;\;\;\,}\end{array}\,k\, \in \,Z.} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x = 2\pi  — \dfrac{{3\pi }}{4} = \dfrac{{5\pi }}{4};\,\,\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{2} + 2\pi  = \dfrac{{5\pi }}{2}.\)

Ответ:  а)  \( \pm \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)

             б)  \(\dfrac{{5\pi }}{4};\,\,\,\,\dfrac{{5\pi }}{2}.\)