66В. а) Решите уравнение \(\cos 2x — 3\cos x + 2 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 4\pi ; — \frac{{5\pi }}{2}} \right].\)
a) \(\cos 2x — 3\cos x + 2 = 0.\) Так как \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x — 1,\) то уравнение примет вид: \(2{\cos ^2}x — 1 — 3\cos x + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\cos ^2}x — 3\cos x + 1 = 0.\) Пусть \(\cos x = t,\,\,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ { — 1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид: \(2{t^2} — 3t + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\,\,\,}\\{{t} = \frac{1}{2}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 1,\,}\\{\cos x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = — 4\pi ;\;\;\;x = \frac{\pi }{3} — 4\pi = — \frac{{11\pi }}{3}.\) Ответ: а) \(2\pi k,\;\;\;\; \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z;\) б) \( — 4\pi ;\;\;\; — \frac{{11\pi }}{3}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 4\pi ; — \frac{{5\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: