67В. а) Решите уравнение \(\cos 2x + 3\sin x — 2 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\pi ;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right].\)
а) \(\cos 2x + 3\sin x — 2 = 0.\) Так как \(\cos 2x = 1 — 2{\sin ^2}x,\) то уравнение примет вид: \(1 — 2{\sin ^2}x + 3\sin x — 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\sin ^2}x — 3\sin x + 1 = 0.\) Пусть \(\sin x = t,\,\,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ { — 1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид: \(2{t^2} — 3t + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\,\,\,}\\{{t} = \dfrac{1}{2}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 1,\,}\\{\sin x = \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{2} + 2\pi k,\,\;}\\{x = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,}\\{x = \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi = \dfrac{{13\pi }}{6};\;\;\,\,\;x = \dfrac{\pi }{2} + 2\pi = \dfrac{{5\pi }}{2}.\) Ответ: а) \(\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\;\;\;\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\;\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z;\) б) \(\dfrac{{13\pi }}{6};\;\;\;\dfrac{{5\pi }}{2}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: