68В. а) Решите уравнение \(\cos 2x — 5\sqrt 2 \cos x — 5 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 3\pi ; — \frac{{3\pi }}{2}} \right].\)
a) \(\cos 2x — 5\sqrt 2 \cos x — 5 = 0.\) Так как \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x — 1,\) то уравнение примет вид: \(2{\cos ^2}x — 1 — 5\sqrt 2 \cos x — 5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\cos ^2}x — 5\sqrt 2 \cos x — 6 = 0.\) Пусть \(\cos x = t,\,\,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ { — 1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид: \(2{t^2} — 5\sqrt 2 t — 6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;D = 50 + 48 = 98\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt D = 7\sqrt 2 \;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{{5\sqrt 2 + 7\sqrt 2 }}{4} = 3\sqrt 2 \notin \left[ { — 1;1} \right],\,\,\,}\\{{t} = \frac{{5\sqrt 2 — 7\sqrt 2 }}{4} = — \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\cos x = — \frac{{\sqrt 2 }}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = — 2\pi — \frac{{3\pi }}{4} = — \frac{{11\pi }}{4}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z;\) б) \( — \frac{{11\pi }}{4}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 3\pi ; — \frac{{3\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: