a) \(2{\cos ^2}x + 2\sin 2x = 3.\)
Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\), а \(3 = 3 \cdot 1 = 3\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)\), то уравнение примет вид:
\(2{\cos ^2}x + 4\sin x\cos x = 3{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3{\sin ^2}x — 4\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;3{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\,x — 4{\rm{tg}}\,x + 1 = 0.\)
Пусть \({\rm{tg}}\,x = t,\,\,\,\,\,\,\,\,t\, \in \,R.\) Тогда уравнение примет вид:
\(3{t^2} — 4t + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\,\,\,\,}\\{{t} = \dfrac{1}{3}.\;}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x = 1,}\\{{\rm{tg}}\,x = \dfrac{1}{3}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = {\rm{arctg}}\dfrac{1}{3} + \pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \dfrac{{3\pi }}{2}; — \dfrac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = \dfrac{\pi }{4} — \pi = — \dfrac{{3\pi }}{4};\,\,\,\,\,\,x = {\rm{arctg}}\dfrac{1}{3} — \pi .\)
Ответ: а) \(\dfrac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;\;{\rm{arctg}}\dfrac{1}{3} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z;\)
б) \( — \dfrac{{3\pi }}{4};\,\,\,\,{\rm{arctg}}\dfrac{1}{3} — \pi .\)