69В. а) Решите уравнение \(2{\cos ^2}x + 2\sin 2x = 3\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{{3\pi }}{2}; — \frac{\pi }{2}} \right].\)
a) \(2{\cos ^2}x + 2\sin 2x = 3.\) Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\), а \(3 = 3 \cdot 1 = 3\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)\), то уравнение примет вид: \(2{\cos ^2}x + 4\sin x\cos x = 3{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3{\sin ^2}x — 4\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;3{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\,x — 4{\rm{tg}}\,x + 1 = 0.\) Пусть \({\rm{tg}}\,x = t,\,\,\,\,\,\,\,\,t\, \in \,R.\) Тогда уравнение примет вид: \(3{t^2} — 4t + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\,\,\,\,}\\{{t} = \frac{1}{3}.\;}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x = 1,}\\{{\rm{tg}}\,x = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = {\rm{arctg}}\frac{1}{3} + \pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\) \(x = \frac{\pi }{4} — \pi = — \frac{{3\pi }}{4};\,\,\,\,\,\,x = {\rm{arctg}}\frac{1}{3} — \pi .\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;\;{\rm{arctg}}\frac{1}{3} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z;\) б) \( — \frac{{3\pi }}{4};\,\,\,\,{\rm{arctg}}\frac{1}{3} — \pi .\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{3\pi }}{2}; — \frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: