7В. а) Решите уравнение \(2{\sin ^2}x + 3\cos x = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;2\pi } \right].\)
a) \(2{\sin ^2}x + 3\cos x = 0.\) Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \({\sin ^2}x = 1 — {\cos ^2}x.\) Тогда уравнение примет вид: \(2\left( {1 — {{\cos }^2}x} \right) + 3\cos x = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2{\cos ^2}x — 3\cos x — 2 = 0.\) Пусть \(\cos x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ { — 1;1} \right].\) Тогда: \(2{t^2} — 3t — 2 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = — \frac{1}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{t} = 2\,\, \notin \,\left[ { — 1;1} \right].}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\cos x = — \frac{1}{2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\) \(x = \frac{{2\pi }}{3};\,\,\,\,\,x = — \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi = \,\frac{{4\pi }}{3}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \(\frac{{2\pi }}{3};\,\,\,\,\,\,\frac{{4\pi }}{3}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: