70В. а) Решите уравнение \(\sin x + \left( {\cos \frac{x}{2} — \sin \frac{x}{2}} \right)\left( {\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}} \right) = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\pi ;\frac{{5\pi }}{2}} \right].\)
а) \(\sin x + \left( {\cos \frac{x}{2} — \sin \frac{x}{2}} \right)\left( {\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}} \right) = 0.\) Так как \(\left( {a — b} \right)\left( {a + b} \right) = {a^2} — {b^2},\) то \(\left( {\cos \frac{x}{2} — \sin \frac{x}{2}} \right)\left( {\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}} \right) = {\cos ^2}\frac{x}{2} — {\sin ^2}\frac{x}{2}.\) Тогда уравнение примет вид: \(\sin x + {\cos ^2}\frac{x}{2} — {\sin ^2}\frac{x}{2} = 0.\) Воспользуемся формулой \({\cos ^2}\alpha — {\sin ^2}\alpha = \cos 2\alpha .\) Тогда получим уравнение: \(\sin x + \cos x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{tg}}\,x + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = — \frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = — \frac{\pi }{4} + 2\pi = \frac{{7\pi }}{4}.\) Ответ: а) \( — \frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{{7\pi }}{4}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;\frac{{5\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: