71В. а) Решите уравнение \(\sin 2x — 2\sqrt 3 {\cos ^2}x — 4\sin x + 4\sqrt 3 \cos x = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\pi ;\frac{{5\pi }}{2}} \right].\)
a) \(\sin 2x — 2\sqrt 3 {\cos ^2}x — 4\sin x + 4\sqrt 3 \cos x = 0.\) Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид: \(2\sin x\cos x — 2\sqrt 3 {\cos ^2}x — 4\sin x + 4\sqrt 3 \cos x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;2\cos x\left( {\sin x — \sqrt 3 \cos x} \right) — 4\left( {\sin x — \sqrt 3 \cos x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\sin x — \sqrt 3 \cos x} \right)\left( {2\cos x — 4} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x — \sqrt 3 \cos x = 0,}\\{2\cos x — 4 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \sqrt 3 \cos x,}\\{\cos x = 2.\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Уравнение \(\cos x = 2\) не имеет решений. \(\sin x — \sqrt 3 \cos x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{tg}}\,x = \sqrt 3 \,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{\pi }{3} + \pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\) \(x = \frac{\pi }{3} + \pi = \frac{{4\pi }}{3};\,\,\;\;\;x = \frac{\pi }{3} + 2\pi = \frac{{7\pi }}{3}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{3} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \(\frac{{4\pi }}{3};\;\;\;\frac{{7\pi }}{3}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;\frac{{5\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: