72В. а) Решите уравнение \(\sin 2x — 2\sqrt 3 {\sin ^2}x + 4\cos x — 4\sqrt 3 \sin x = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{\pi }{2};\pi } \right].\)
а) \(\sin 2x — 2\sqrt 3 {\sin ^2}x + 4\cos x — 4\sqrt 3 \sin x = 0.\) Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид: \(2\sin x\cos x — 2\sqrt 3 {\sin ^2}x + 4\cos x — 4\sqrt 3 \sin x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin x\left( {\cos x — \sqrt 3 \sin x} \right) + 4\left( {\cos x — \sqrt 3 \sin x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\cos x — \sqrt 3 \sin x} \right)\left( {2\sin x + 4} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x — \sqrt 3 \sin x = 0,}\\{2\sin x + 4 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = \sqrt 3 \sin x,}\\{\sin x = — 2.\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Уравнение \(\sin x = — 2\) не имеет решений. \(\sqrt 3 \sin x = \cos x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{tg}}\,x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{\pi }{6} + \pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{6} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \(\frac{\pi }{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{\pi }{2};\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: \(x = \frac{\pi }{6}.\)