73В. а) Решите уравнение \(\cos 2x + {\sin ^2}x = 0,5\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{{7\pi }}{2}; — 2\pi } \right].\)
а) \(\cos 2x + {\sin ^2}x = 0,5.\) Так как \(\cos 2x = 1 — 2{\sin ^2}x,\) то уравнение примет вид: \(1 — 2{\sin ^2}x + {\sin ^2}x = 0,5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\sin ^2}x = 0,5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{1 — \cos 2x}}{2} = \frac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\cos 2x = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2x = \frac{\pi }{2} + \pi k\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;x = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2},\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{4} — \frac{{7\pi }}{2} = — \frac{{13\pi }}{4};\;\;\;\;x = \frac{\pi }{4} — 3\pi = — \frac{{11\pi }}{4};\;\;\;\;x = \frac{\pi }{4} — \frac{{5\pi }}{2} = — \frac{{9\pi }}{4}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2},\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{{13\pi }}{4};\;\;\;\; — \frac{{11\pi }}{4};\;\;\;\; — \frac{{9\pi }}{4}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{7\pi }}{2}; — 2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: