74В. а) Решите уравнение \(\sin 2x = 2\sin x — \cos x + 1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 2\pi ; — \frac{\pi }{2}} \right].\)
а) \(\sin 2x = 2\sin x — \cos x + 1.\) Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид: \(2\sin x\cos x = 2\sin x — \cos x + 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin x\cos x — 2\sin x + \cos x — 1 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin x\left( {\cos x — 1} \right) + \cos x — 1 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\cos x — 1} \right)\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x — 1 = 0,\;}\\{2\sin x + 1 = 0}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 1,\;\;}\\{\sin x = — \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = — \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;}\\{x = — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}\;\;\;\;k \in Z.} \right.\) \(x = — 2\pi ;\;\;\;\;x = — \frac{{5\pi }}{6}.\) Ответ: а) \(2\pi k,\,\,\,\,\,\,\, — \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\, — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — 2\pi ;\;\;\;\; — \frac{{5\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 2\pi ; — \frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: