а) \(\sin 2x = 2\sin x — \cos x + 1.\)
Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид:
\(2\sin x\cos x = 2\sin x — \cos x + 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin x\cos x — 2\sin x + \cos x — 1 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin x\left( {\cos x — 1} \right) + \cos x — 1 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\cos x — 1} \right)\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x — 1 = 0,\;}\\{2\sin x + 1 = 0}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 1,\;\;}\\{\sin x = — \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = — \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;}\\{x = — \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}\;\;\;\;k \in Z.} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 2\pi ; — \dfrac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = — 2\pi ;\;\;\;\;x = — \dfrac{{5\pi }}{6}.\)
Ответ: а) \(2\pi k,\,\,\,\,\,\,\, — \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\, — \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)
б) \( — 2\pi ;\;\;\;\; — \dfrac{{5\pi }}{6}.\)