75В. а) Решите уравнение \(2\sin 2x = 4\cos x — \sin x + 1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right].\)
a) \(2\sin 2x = 4\cos x — \sin x + 1.\) Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид: \(2 \cdot 2\sin x\cos x — 4\cos x + \sin x — 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;4\cos x\left( {\sin x — 1} \right) + \left( {\sin x — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\sin x — 1} \right)\left( {4\cos x + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 1,\;\;\;}\\{\cos x = — \frac{1}{4}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = \pm \arccos \left( { — \frac{1}{4}} \right) + 2\pi k,}\end{array}\;\;\;\;k \in Z.} \right.\) \(x = \frac{\pi }{2};\;\;\,\;\,x = \pi — \arccos \frac{1}{4};\,\) \(x = \pi + \arccos \frac{1}{4}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{2} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\, \pm \arccos \left( { — \frac{1}{4}} \right) + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \(\frac{\pi }{2};\;\;\,\;\pi — \arccos \frac{1}{4};\,\,\,\,\,\,\pi + \arccos \frac{1}{4}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: