76В. а) Решите уравнение \(\sin 2x = 2\sin x + \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{2}} \right) + 1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 4\pi ; — \frac{{5\pi }}{2}} \right].\)
a) \(\sin 2x = 2\sin x + \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{2}} \right) + 1.\) Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид: \(2\sin x\cos x = 2\sin x + \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{2}} \right) + 1.\) Используя формулу приведения, получим: \(\sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{2}} \right) = — \cos x.\;\) Тогда уравнение примет вид: \(2\sin x\cos x — 2\sin x + \cos x — 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin x\left( {\cos x — 1} \right) + \left( {\cos x — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\cos x — 1} \right)\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 1,\;\;}\\{\,\sin x = — \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = — \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;}\\{x = — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = — 4\pi ;\;\;\;x = — \frac{{5\pi }}{6} — 2\pi = — \frac{{17\pi }}{6}.\) Ответ: а) \(2\pi k,\,\,\,\,\,\, — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\, — \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — 4\pi ;\;\;\; — \frac{{17\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 4\pi ; — \frac{{5\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: